\documentclass{physlecture}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{bm, amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{float, graphicx}
%\usepackage{flexisym, breqn, bracemath}
\usepackage{mymathutils}

\author{Д.\,А.~Паршин, Г.\,Г.~Зегря}
\lecturenumber{13}
\course{Квантовая механика}

\newcommand{\conjug}[1]{#1^*}
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\begin{document}
  \maketitle
  \tableofcontents
  \section{Одновременно измеримые физические величины.}
    Пусть \(f\) и \(g\) --- одновременно измеримые величины. Мы можем ввести
    понятие их произведения: это величина, собственное значение которой равно
    произведению собственных значений. Легко видеть, что такой величине соответствует
    оператор, действие которого состоит в последовательном действии на функцию
    сначала одного, а затем другого оператора. Математически он изображается как
    произведение операторов \(\hat{f}\) и \(\hat{g}\). Действительно, если
    \(\psi_n\) --- общая собственная функция операторов \(\hat{f}\) и
    \(\hat{g}\), то есть, \(\hat{f}\psi_n = f_n\psi_n\) и \(\hat{g}\psi_n = g_n\psi_n\).
    Тогда
    \begin{align*}
      \hat{f}\hat{g}\psi_n = \hat{f}(\hat{g}\varphi_n) = \hat{f}g_n\psi_n =
      g_n\hat{f}\psi_n = g_nf_n\psi_n = f_ng_n\psi_n.
    \end{align*}

    Мы можем взять с тем же успехом вместо оператора \(\hat{f}\hat{g}\) оператор
    \(\hat{g}\hat{f}\), и получить тот же результат. Поскольку всякая функция
    \(\psi\) может быть представлена в виде линейной комбинации функций
    \(\psi_n\), то отсюда следует, что одинаковым будет результат воздействия
    операторов \(\hat{f}\hat{g}\) и \(\hat{g}\hat{f}\) на произвольную функцию
    \(\psi\). Другими словами,
    \begin{equation}
      \hat{f}\hat{g} - \hat{g}\hat{f} = 0.
    \label{eq:SameTimeCommutatioon}
    \end{equation}

    О таких операторах говорят, что они \emph{коммутируют друг с другом}. Таким
    образом мы приходим к важному выводу о том, что если две величины могут
    иметь одновременно определяемые значения, то их операторы обязательно
    коммутируют друг с другом.

    Можно доказать и обратную теорему: если операторы \(\hat{f}\) и \(\hat{g}\)
    коммутативны, то у них все собственные функции можно выбрать общими, что
    физически означает одновременную измеримость соответствующих физических
    величин.

    Таким образом, коммутативность операторов является необходимым и достаточным
    условием одновременной измеримости физических величин.
    
    Введём обозначение \emph{коммутатора} операторов:
    \begin{equation}
      \left\{\hat{f}, \hat{g}\right\} = \hat{f}\hat{g} - \hat{g}\hat{f}.
    \label{eq:Commutator}
    \end{equation}

  \section{Правила коммутации между операторами импульса и координаты.}
    Выведем правило коммутации между операторами импульса и координат. Поскольку
    результат дифференцирования по одной из координат и умножения на другую из
    них не зависит от порядка этих операций, имеем
    \begin{align*}
      \hat{p}_xy - y\hat{p}_x &= 0, &
      \hat{p}_xz - z\hat{p}_z &= 0,
    \end{align*}
    так как \(\hat{\vec{p}} = -i\hbar\nabla\), то есть, \(\hat{p}_x =
    -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\).

    Аналогично,
    \begin{align*}
      \hat{p}_yx - x\hat{p}_y &= 0, &
      \hat{p}_yz - z\hat{p}_y &= 0, \\
      \hat{p}_zx - x\hat{p}_z &= 0, &
      \hat{p}_zy - y\hat{p}_z &= 0.
    \end{align*}

    Таким образом, эти величины могут быть измерены одновременно: \(p_y\) и \(x\),
    \(p_z\) и \(y\) и т.\,д.

    Найдём теперь правила коммутации \(\hat{p}_x\) с \(x\):
    \begin{align*}
      \left( \hat{p}_xx - x\hat{p}_x \right)\psi &= -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}(x\psi) -
      x\left( -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi \right) =\\
      &=-i\hbar\psi
      -i\hbar x\frac{\partial\psi}{\partial x}
      +i\hbar x\frac{\partial\psi}{\partial x} = -i\hbar\psi.
    \end{align*}
    \begin{equation}
      \hat{p}_xx - x\hat{p}_x = -i\hbar.
      \label{eq:PxxComm}
    \end{equation}
    Величины \(p_x\) и \(x\) не могут быть измерены одновременно!

    Аналогично,
    \begin{align*}
      \hat{p}_yy - y\hat{p}_y &= -i\hbar, &
      \hat{p}_zz - z\hat{p}_z &= -i\hbar.
    \end{align*}

    Таким образом, координата частицы вдоль одной из осей может иметь определённое
    значение одновременно с компонентами импульса по двум другим осям. Координата
    же и компонента импульса по одной и той же оси \emph{не существуют одновременно}.
    В частности, частица не может одновременно находиться в определённой точке
    пространства \(\vec{r}\) и иметь при этом определённый импульс \(\vec{p}\)!

  \section{Соотношение неопределённости.}
    Предположим, что частица находится в некоторой конечной области пространства
    с размерами вдоль осей порядка величины \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta z\).
    Пусть далее среднее значение импульса частицы есть \(\vec{p}_0\). Математически
    это означает, что волновая функция имеет вид
    \begin{align*}
      \psi = U(\vec{r})e^{i\frac{\vec{p}_0\cdot\vec{r}}{\hbar}},
    \end{align*}
    где \(U(\vec{r})\) --- функция, заметно отличная от нуля только в указанной
    области пространства.

    Разложим функцию \(\psi\) по собственным функциям оператора импульса (т.\,е.,
    в интеграл Фурье):
    \begin{align*}
      \psi(\vec{r}) = \int a(\vec{p})e^{i\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{\hbar}}\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}.
    \end{align*}
    Здесь \(d^3p = dp_xdp_ydp_z\).

    Коэффициенты разложения равны
    \begin{align*}
      a(\vec{p}) = \int\psi(\vec{r})\conjug{\psi}_p(\vec{r})dV = 
      \int\psi(\vec{r})e^{-i\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{\hbar}}dV = 
      \int U(\vec{r}) e^{i\frac{(\vec{p_0} - \vec{p})\cdot\vec{r}}{\hbar}}dV.
    \end{align*}
    Для того, чтобы интеграл был заметно отличен от нуля, периоды осциллирующего
    множителя \(e^{i\frac{(\vec{p_0} - \vec{p})\cdot\vec{r}}{\hbar}}\) должны
    быть не малыми по сравнению с размерами \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta
    z\) области, в которой заметно отлична от нуля функция \(U(\vec{r})\).
    Это значит, что \(a(\vec{p})\) будет заметно отличной от нуля лишь для таких
    значений \(\vec{p}\), что
    \begin{align*}
      \frac{(p_{0x} - p_x)\Delta x}{\hbar} \le 1, \dots
    \end{align*}

    Поскольку \(a(\vec{p})\) определяет вероятность различных значений импульса,
    то интервалы значений \(p_x\), \(p_y\), \(p_z\), в которых \(a(\vec{p})\)
    заметно отлична от нуля, --- не что иное, как те интервалы значений, в которых
    могут оказаться компоненты импульса частицы в рассматриваемом состоянии.
    Обозначая эти интервалы посредством \(\Delta p_x\), \(\Delta p_y\) и \(\Delta p_z\),
    имеем таким образом
    \begin{align}
      \Delta p_x \Delta x &\sim \hbar, &
      \Delta p_y \Delta y &\sim \hbar, &
      \Delta p_z \Delta z &\sim \hbar.
    \label{eq:HeisenbergIndeterminity}
    \end{align}
    Эти соотношения неопределённости были получены Гейзенбергом в 1927\,г.

    Мы видим, что чем с большей точностью известна координата частицы (т.\,е.,
    чем меньше \(\Delta x\)), тем больше неопределённость \(\Delta p_x\) в
    значении компонента импульса вдоль той же оси, и наоборот.

    В частности, если частица находится в строго определённой точке пространства,
    то есть, \(\Delta x = \Delta y = \Delta z = 0\), то \(\Delta p_x = \Delta
    p_y = \Delta p_z = \infty\). Это значит, что все значения импульса частицы
    при этом равновероятны:
    \begin{align*}
      a(\vec{p}) = \int \psi(\vec{r})e^{-i\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{\hbar}}dV
      = \int \delta(\vec{r} - \vec{r}_0) e^{-i\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{\hbar}}dV =
      e^{-i\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}_0}{\hbar}},
    \end{align*}
    а значит, \(\abs{a(\vec{p})}^2 = 1\) для всех \(\vec{p}\)!

    Наоборот, если частица имеет строго определённый импульс \(\vec{p}_0\), то
    равновероятны все её положения в пространстве: \(\psi =
    e^{-i\frac{\vec{p}_0\cdot\vec{r}}{\hbar}}\) и \(\abs{\psi(\vec{r})}^2 \equiv 1\)!

    Если же поступать более строго и характеризовать неопределённости средними
    квадратическими флуктуациями
    \begin{align*}
      \delta x &= \sqrt{\left\langle (x - \bar{x})^2 \right\rangle}, &
      \delta p_x &= \sqrt{\left\langle (p_x - \bar{p_x})^2 \right\rangle}, 
    \end{align*}
    то можно дать точную оценку наименьшего значения их произведения:
    \begin{equation}
      \delta x \delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}.
    \label{eq:Fluctuation}
    \end{equation}

\end{document}
